R0: NUMERO DI RIPRODUZIONE DEL CONTAGIO

La domanda che viene posta agli esperti di statistica medica in questo periodo è una sola: quando finirà l’epidemia?

Ovviamente è impossibile stabilire una data esatta, tuttavia abbiamo un parametro da tenere sott’occhio, il quale era balzato fuori nei primi giorni della problematica, per poi essere messo da parte all’improvviso.

Si tratta del “numero di riproduzione” dell’infezione R0, spesso impropriamente definito “tasso di contagio” (non è affatto un tasso, è un mero numero). Studiare l’andamento di R0 significa capire come sta evolvendo l’epidemia.

Definizione di R0

La definizione di R0 è una parte del modello SIR. Esso studia la variazione del numero di Suscettibili, cioè contagiabili, del numero di Infetti e del numero di Rimossi, cioè non più contagiabili, perché guariti o passati a miglior vita.

Il modello SIR ha una declinazione matematica abbastanza complessa, basata su equazioni differenziali. Al contempo prevede delle ipotesi di comodo, ben lontane dalla realtà, eppure necessarie per semplificare la trattazione. Le due principali approssimazioni sono le seguenti:

1. Ogni individuo ha la stessa possibilità di entrare in contatto con un individuo infetto. Questa ipotesi elimina la necessità di conoscere la precisa rete di contatto su cui si diffonde la malattia, sostituendola con l’ipotesi che chiunque possa infettare qualcun altro.

2. La probabilità di guarire è indipendente da quanto a lungo un individuo sia già stato infetto. A livello matematico ciò significa imporre un periodo di infettività di tipo esponenziale, in modo da avere equazioni differenziali ordinarie.

Una ulteriore approssimazione necessaria è la seguente: se analizziamo la situazione nel periodo iniziale dell’epidemia, possiamo supporre che il numero di Rimossi (guariti e morti) sia molto inferiore al numero di Infetti e pertanto possiamo trascurarlo. Quando al crescere di t (cioè dopo molti giorni dall’inizio dell’epidemia) i Rimossi divengono comparabili ai Suscettibili e agli Infetti, allora la seguente soluzione non è più valida e abbiamo bisogno di una equazione differente per descrivere il fenomeno.

Definiamo i(t)=I(t)/N come il rapporto tra il numero I di Infetti al tempo t (giorno dall’inizio dell’epidemia) e l’intera popolazione N. La soluzione dell’equazione differenziale in esame è:

i(t)=i(0)*exp[(b*k-u)*t]

  • Definiamo b probabilità di contagio di un Suscettibile che entra in contatto con un Infetto.
  • Definiamo k il numero di contatti medio Infetto-Suscettibile (costante per l’ipotesi 1).
  • Definiamo u probabilità di guarigione (costante per l’ipotesi 2).

In base alle definizioni di b e u, posso definire un nuovo parametro che metta in relazione la probabilità di contagio (per il numero di contatti) con la probabilità di guarigione, facendone il rapporto. Questo parametro è proprio R0.

R0=(b*k)/u=(tasso di contagio/tasso guarigione)

Ergo:

i(t)=i(0)*exp[u*(R0-1)*t]

  • Se R0<1 la funzione esponenziale tende a decrescere all’aumentare di t, perché presenta un esponente negativo, cioè il numero di infetti i(t) diminuisce.
  • Se R0>1 la funzione esponenziale tende a crescere all’aumentare di t, perché presenta un esponente positivo, cioè il numero di infetti i(t) aumenta.

Significato di R0

Come scrive il professor Andrea Pugliese (INFO) in “Modelli di epidemie”,  R0 rappresenta il numero medio di individui che ogni singolo infetto va a contagiare durante una epidemia.
Se R0=2 significa che ogni soggetto portatore di coronavirus, mediamente, infetta 2 persone.

Attenzione! Il soggetto non infetta 2 persone ogni volta che, per esempio, esce con gli amici, bensì durante tutto il periodo dell’epidemia.

R0 dipende dal numero di contatti che si hanno con altre persone (potenzialmente infette, non lo sappiamo con certezza), dalla probabilità di contagio che si ha sul singolo contatto e, ovviamente, dalla durata del periodo in cui il soggetto è infettivo (circa 14 giorni).
Vedasi la definizione di “contatto stretto” (LINK DIRETTO).

Secondo uno studio specifico sull’Italia, “COVID-19 and Italy: what next?“, pubblicato su “The Lancet” (LINK DIRETTO):“Sulla base della previsione della curva esponenziale e dell’ipotesi che la durata dell’infezione vada da 15 a 20 giorni, è possibile calcolare che R0 [in Italia al 13 Marzo,n.d.r.] vari da 2.76 a 3.25. Questo numero è simile a quello riportato per la fase iniziale del focolaio di infezione nella città di Wuhan, in Cina, e leggermente superiore al 2.2 riportato da Li e colleghi in un rapporto più recente (LINK DIRETTO)”

Significato di Re

È possibile analizzare l’andamento di R0 rendendo questo valore effettivo: chiamiamolo Re (in taluni testi viene riportato Rt). Stiamo tenendo conto che, nel corso dell’epidemia, i potenziali suscettibili al contagio diminuiscono (si immunizzano o passano a miglior vita). In altre parole R0 ed Re “misurano” la stessa quantità, ma R0 all’inizio dell’epidemia (infatti è anche detto “di base”), Re durante l’epidemia.

Per far diminuire Re, cioè far diminuire i contagi e quindi far scemare l’epidemia, dobbiamo diminuire i contatti. Matematico! Quando ogni infetto inizia a contagiare meno di una persona (suona strano, ma si ragiona in media), allora l’epidemia si ritiene superata. Ergo dobbiamo cercare di arrivare ad un Re<1. 

Durante l’epidemia di SARS del 2003, Re arrivò fino a 2.75 per poi scendere sotto al valore 1 dopo circa 3 mesi.

Effetti delle misure contenitive cinesi

Per minimizzare i contatti tra persone è necessario adottare misure restrittive, come la quarantena o la limitazione delle pubbliche attività. Nello studio “Evolving Epidemiology and Impact of Non-pharmaceutical Interventions on the Outbreak of Coronavirus Disease 2019 in Wuhan, China” (LINK DIRETTO) di un gruppo di studiosi della “Huazhong University of Science and Technology” e della “Harvard University“, si cerca di comprendere se tali misure, applicate in maniera estremamente forzata in Cina, siano state o meno efficaci.

A livello di raccolta dati si è potuto stabilire che l’età media dei casi era di 57 anni ed il picco di contagi giornalieri si è avuto durante il terzo periodo dell’epidemia. I contagi sono diminuiti in modo sostanziale grazie alla quarantena forzata.

Il valore di R0 è passato da 3.86 (prima degli interventi) a Re=0.32 (post interventi). Si stima sia stato possibile prevenire addirittura il 94.5% (dal 93.7 al 95.2%) di infezioni (fino al 18 febbraio).
Si ipotizza che ben il 59% dei casi infetti non siano stati accertati (compresi gli eventuali asintomatici).
In conclusione gli esperti sostengono due cose:

  • necessità di misure drastiche per circoscrivere il focolaio, cosa che funziona in maniera clamorosamente efficace;
  • alta probabilità e peso statistico dei casi non accertati

Andamento di Re

Anche la dottoressa Xihong Lin (INFO), professoressa di biostatistica di Harvard, ha analizzato la situazione cinese. Si nota come in assenza di un massiccio intervento di quarantena (data di riferimento, 23 Gennaio), R0=3.8 nel focolaio principale. A inizio Febbraio Re è crollato a 0.3 ergo gli interventi logistici, oltre ovviamente ai trattamenti medici, hanno funzionato in maniera netta.

Lin sottolinea come la autoquarantena casalinga aiuti (Re=1.35) ma non sia del tutto efficace perché non elimina del tutto i contatti. Come nello studio precedentemente analizzato, anche qui si stima un 60% di contagi non rilevato

Nello studio “Temporal variation in transmission during the COVID-19 outbreak” (LINK DIRETTO) il professor Abbott ha studiato l’andamento di Re, in modo da capire se stia tendendo al valore 1 (ricordiamo che per Re=1 l’epidemia è considerata finita). Sulla pagina internet dove è pubblicato lo studio, costantemente aggiornata, è possibile osservare l’andamento di Re giorno per giorno.

La stima fornita in data 4 Marzo presentava valori tra 1.8 e 2.2 con una tendenza al calo lenta. Il tempo di raddoppio dei contagiati veniva stimato tra 4 e 10 giorni (cioè raddoppio del numero contagi ogni settimana, mediamente) laddove non venisse invertito l’andamento.

L’andamento di Re in Italia nel corso dei giorni (vedete due curve e una zona grigia perché sono i valori compresi tra errore massimo ed errore minimo di stima). Immagine estrapolata da “Temporal variation in transmission during the COVID-19 outbreak”. Si noti come Re sia sopra il valore di 1 e lo sia di più o di meno a seconda dei contagi avvenuti.

In data 19 Marzo il valore di Re è sceso a 1.9, sempre in lento calo, come atteso dai modelli teorici. Il tempo di raddoppio del numero di contagiati è stimato a 2.9 giorni, con previsione di decrescita.

Come preventivato Re in Italia si sta avvicinando al valore 1, seppure lentamente. Immagine estrapolata da “Temporal variation in transmission during the COVID-19 outbreak”.

Rischio di contagio

Il professor Kucharski (INFO), matematico ed esperto di epidemiologia della “London School of Hygiene & Tropical Medicine”, ha posto l’attenzione sul legame tra R0 e la probabilità di contagio, sottolineando come essa sia sottostimata negli USA.

È conveniente modellare R0=SAR*c.

  • Il fattore c rappresenta il numero di contatti di un individuo con potenziali infetti.
  • Il fattore SAR, Secondary Attack Rate, rappresenta il rischio di essere contagiati da un singolo contatto usiamo un altro

Il termine attack rate (tasso di attacco della malattia) è spesso usato come sinonimo di rischio. È il rischio di contrarre la malattia durante un determinato periodo.

L’attack rate complessivo è il numero totale di nuovi casi diviso per la popolazione totale.

Il Secondary Attack Rate è il numero di casi occorsi tra coloro che sono venuti a contatto con i casi primari diviso per il numero totale di individui venuti a contatto. Esso viene calcolato per documentare la differenza tra la trasmissione della malattia nell’intero paese e la trasmissione della malattia in una famiglia, in una scuola o comunque in una porzione ben determinata della popolazione.

Vediamo cosa significa, ad esempio, avere un R0=2. Supponiamo, con una buona dose di pessimismo, che il SAR sia del 35% in ambienti chiusi (dati Lancet) e del 2.3% all’aperto (sovrastima). Ovviamente in un ambiente ristretto avrò meno contatti, quindi poniamo c=2.5, all’aperto potenzialmente ho tantissimi contatti in più, ergo poniamo c=50. R0=0.35*2.5+2.3*50=2.

Kucharski sta quindi dicendo che dobbiamo tenere conto, nelle nostre preoccupazioni, non solo del numero di contatti ma anche e soprattutto della differente probabilità di contagio (espressa dal SAR).

I modelli epidemiologici, in sintesi, ci dicono due cose:

  • Non è detto che venire a contatto con una persona infetta generi automaticamente il contagio, c’è una certa probabilità affinché ciò avvenga. Venire a contatto con meno persone non è necessariamente meno pericoloso e viceversa! 
  • Non essendo nota questa probabilità, l’unico modo per minimizzare il rischio di contagio durante un’epidemia di un virus ancora non completamente studiato (e quindi senza vaccino o opportuni antivirali) è minimizzare i contatti.

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